Question

【题目】如图，抛物线经过三点

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在这样的点P，此时点P的坐标为或；（3）存在这样的点，坐标为．

【解析】

（1）先根据点A、B坐标设抛物线的交点式，再将点C的坐标代入求解即可；

（2）先根据三点的坐标求出的面积，再根据抛物线的解析式设点P的坐标，然后根据建立等式，求解即可得；

（3）根据平行四边形的定义分和两种情况求解即可．

（1）由可设抛物线的解析式为

将点代入得，解得

则抛物线的解析式为

故抛物线的解析式为；

（2）存在，求解过程如下：

由可得

，是等腰直角三角形，即

如图，过点P作，交AC于点E，则是等腰直角三角形

设点P的坐标为，由题意得

则

则，解得或

当时，，则点P的坐标为

当时，，则点P的坐标为

综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为或；

（3）存在，求解过程如下：

由平行四边形的定义分以下2种情况：

①当时，显然点与的纵坐标相等

则点与关于对称轴对称

，，即，

②当时，显然点到轴的距离等于点C到轴的距离，即等于3

设

当时，，则点Q的坐标为

当时，，则点Q的坐标为

综上，存在这样的点，坐标为．