Question

【题目】综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，∠BEC的度数是 ，的值是 ；

(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .

Answer 1

【答案】(1)67.5°；；(2)四边形EMGF是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).

【解析】

(1)由正方形的性质可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根据折叠的性质可得∠BCE =22.5°，继而可求得∠BEC=67.5°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得；

(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：由折叠的性质可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，继而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得 ∠CMG=45°，由三角形外角的性质得∠BME=∠1+∠5=45°，根据平角的定义求得∠EMG=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMGF是矩形；

(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：先证明四边形EMCH是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH也是菱形).

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°，

∵折叠，

∴∠BCE=∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，

∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，

在Rt△AEN中，sin∠EAN=，

∴，

∴AE=EN，

∴，

故答案为：67.5°，；

(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，

由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，

∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，

由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC，FC，

∴MC=ME，GC=GF，

∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，

∴∠MEF=∠GFE=90°，

∵∠MCG=90°，CM=CG，

∴∠CMG=45°，

又∵∠BME=∠1+∠5=45°，

∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，

∴四边形EMGF是矩形；

(3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：

由(2)∠BME=45°=∠BCA，

∴EM//AC，

∵折叠，

∴CM=CH，EM=CM，

∴EM=CH，

∴EM CH，

∴四边形EMCH是平行四边形，

又CM=EM，

∴平行四边形EMCH是菱形.

(同理四边形FGCH是菱形，如图所示

).