Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上， ⊙A交x轴于两点，交y轴于D、E两点，已知⊙A的半径是5，点A的坐标为（3，0）
（1）求D、E两点的坐标 ；
（2）过点D作⊙A的切线，交x轴于F点，连接，求证：；
（3）若在弧上有一个动点P，在弧DC上有一个动点Q，使得，当点P运动时，点Q随之运动（保持，如图2）问乘积的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，请求出其变化的范围.

Answer 1

（1）解：连接AD，在中，根据勾股定理得： 
  
  由垂径定理知：
∴点的坐标是（0，4），点的坐标是（0，-4）；
（2）证明：∵DF与⊙A的相切
  ∴ （切线的性质）
  而∵
   ∴
  又∵
   ∴
  ∴（等角的余角相等）；
（3）解：乘积的值不发生变化
  分别延长PO、QO与⊙A相交于点M、N
   ∵，x轴⊥y轴
  ∴  进而
  作于G点，于N点
   ∴（角平分线的性质）
   ∴（圆中“五组量”之间的等量关系）
  又（HL）， （垂径定理）
    ∴，
   再由∽（或根据相交弦定理）
  得出：