题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=
．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=
的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3
）；
【解析】
试题分析：（1）先求出一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根就可以求出OA，OC的值，进而求出点A，C的坐标；
（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如图1，作EM⊥x轴于点M，由相似三角形的现在就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐标，由待定系数法就可以求出结论；
（3）如图2，分别过C、E作CE的垂线交坐标轴三个点P1、P3、P4，可作出三个Q点，过E点作x轴的垂线与x轴交与P2，即可作出Q2，以CE为直径作圆交于y轴两个点P5、P6，使PC⊥PE，即可作出Q5、Q6．
试题解析：（1）∵x2﹣18x+72=0
∴x1=6，x2=12．
∵OA＞OC，
∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）∵tan∠ABO=
，
∴
=，
∴
，
∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=
．
∵BE=5，
∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．
∴△AEM∽△ABO，
∴
，
∴
，
∴EM=12，AM=9，
∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．
∴k=3×12=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，
x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；
考点：1、一次函数的交点；2、勾股定理的运用；3、三角函数；4、三角形相似
