已知:抛物线y=x2+x+m2-1经过坐标原点.且当x＜0时.y随x的增大而减小．(1)求抛物线的解析式.并写出y＜0时.对应x的取值范围,(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点.过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D.再作AB⊥x轴于点B.DC⊥x轴于点C．①当BC=1时.直接写出矩形ABCD的周长,②设动点A的坐标为(a.b).将矩形ABCD的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；
（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案；
②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点（0，0），
∴m²-1=0，
∴m=±1
∴y=x²+x或y=x²-3x，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴y=x²-3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；
（2）①如图1，
当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为-2，
∴矩形的周长为6；
②∵A的坐标为（a，b），
∴当点A在对称轴左侧时，如图2，
矩形ABCD的一边BC=3-2a，另一边AB=3a-a²，
周长L=-2a²+2a+6．其中0＜a＜$\frac{3}{2}$，当a=$\frac{1}{2}$时，L_最大=$\frac{13}{2}$，A点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），

当点A在对称轴右侧时如图3，
矩形的一边BC=3-（6-2a）=2a-3，另一边AB=3a-a²，
周长L=-2a²+10a-6，其中$\frac{3}{2}$＜a＜3，当a=$\frac{5}{2}$时，L_最大=$\frac{13}{2}$，A点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
综上所述：当0＜a＜$\frac{3}{2}$时，L=-2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，L_最大=$\frac{13}{2}$，A点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
当$\frac{3}{2}$＜a＜3时，L=-2（a-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
∴当a=$\frac{5}{2}$时，L_最大=$\frac{13}{2}$，A点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．