Question

如图，凸四边形ABCD内接于⊙O，

AD

=

BC

=90°，AB+CD为一偶数．
求证：四边形ABCD面积为一完全平方数．

Answer 1

分析：根据垂径定理及其推论，结合梯形的面积公式，可以用AB+CD的式子表示它的面积，从而进一步分析．

解答：解：∵

AD

=

BC

，∴AB∥DC，ABCD为梯形．
过O作MN⊥AB于M交CD于N，易知MN⊥CD于N，由垂径定理知M为AB中点，N为CD中点，连接OA，OD．
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN，
从而有Rt△AOM≌Rt△ODN?OM=DN=

1

2

CD，ON=AM=

1

2

AB
∴MN=OM+ON=

1

2

(AB+CD)
∴SABCD=

1

2

(AB+CD)MN
=

1

2

(AB+CD)

1

2

(AB+CD)
=[

1

2

(AB+CD)]2
∵AB+CD为偶数，
∴S_ABCD必是完全平方数．

点评：此题要特别注意辅助线的作法，构造了一对全等三角形，发现梯形的高和上下底的关系．