题目内容

如图，已知二次函数 $数学公式$ 的图象过点A（-4，3），B（4，4）．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得，函数图象经过点A（-4，3），B（4，4），
故可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故二次函数关系式为：y= $\text{[math]}$ （x+2）（13x-20）．

（2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（-2，0），点D坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
又∵点A（-4，3），B（4，4），
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵满足AB²=AC²+BC²，
∴△ACB是直角三角形．

（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
设点P坐标为（x， $\text{[math]}$ （x+2）（13x-20）），则PH= $\text{[math]}$ （x+2）（13x-20），HD=-x+ $\text{[math]}$ ，
①若△DHP∽△BCA，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：x=- $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$ （因为点P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH= $\text{[math]}$ ，即P₁坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②若△PHD∽△BCA，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：x=- $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$ （因为点P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH= $\text{[math]}$ ，即P₂坐标为：（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
综上所述，满足条件的点P有两个，即P₁（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、P₂（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；
（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标．
点评：此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解．