Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，EF⊥AC于点F，求证：AC²=2EF²．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，再判断出△AEF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式整理即可得证．

解答：证明：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE²=EF²+AF²=2EF²，
∴AC²=2EF²．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键．