Question

如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．

     

Answer 1

(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,    ……2分

由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.         ……3分

(2)MN²=ND²+DH².                              ……4分

理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，

∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,          ……6分

再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，                 ……7分  

∴MN²=ND²+DH².                            ……8分

(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,

由Rt△ECF，得(x-4)²+(x-6)²=100,x₁=12,x₂=-2(舍去)  ∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,

设NH=y,由Rt△NHD,得y²=(9-y)²+(3)²,y=5,即MN=5. ……12分