题目内容
如图长方形ABCD，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后的△GBE，且点G在长方形ABCD内部，延长BG交DC于F，（1）求证：GF=DF；
（2）若DC=2DF，求
| AD |
| AB |
（3）若DC=nDF，且
| AD |
| AB |
2
| ||
| 3 |
3
3
．分析：（1）连接EF，由图形翻折变换的性质可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出结论；
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到
的值；
（3）同（2）可用n表示出
的值，再根据
=
即可求出n的值．
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到
| AD |
| AB |
（3）同（2）可用n表示出
| AD |
| AB |
| AD |
| AB |
2
| ||
| 3 |
解答：
（1）证明：连接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2
∴y=2
x，
∴
=
=
；
（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x
，
∴
=
=
，
∵
=
，
∴n=3．
故答案为：3．
（1）证明：连接EF，∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中点，
∴AE=EG=DE，
∴
|
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2
∴y=2
| 2 |
∴
| AD |
| AB |
| y |
| 2x |
| 2 |
（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2
∴y=2x
| n |
∴
| AD |
| AB |
| y |
| nx |
2
| ||
| n |
∵
| AD |
| AB |
2
| ||
| 3 |
∴n=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是图形的反折变换，涉及到矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，难度适中．
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