题目内容

如图，是四边形的对角线上两点，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．

（1），．
，，
．
又，
． ………………………………………………4分
（2）由（1）知，
，
．
四边形是平行四边形  …………………………………………4分

解析

练习册系列答案
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39、我们知道，平行四边形的对角相等，其证明过程如下，请在每一步括号内填写理由．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：∠A=∠C，∠B=∠D．
图1是只有一组对角为直角的四边形（我们规定这一类四边形的集合为M），连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个四边形的“直径”（相当于经过这个四边形的四个顶点的圆的直径）．
（1）识图：如图1，四边形ABCD的直径是线段
BD
BD
；
（2）判断：如图2，在坐标系中（网格小方格的单位长为1）的四边形EFGH是否为M中的四边形？给出简要说明；
（3）思考、操作并解决问题：在图2中找到一个点P，使四边形EFPH为M中的四边形，并且这个四边形用一条直线分割成两块后可以拼成一个正方形．要求：写出点P的坐标、画出分割线，并说明理由．
在下面推理过程的括号内填上推理的依据
已知，如图所示，在?ABCD中，BF=DE．
求证：∠EAF=∠ECF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（
已知
已知
）
∴DC=AB（
平行四边形的对边相等
平行四边形的对边相等
）
DC∥AB（
平行四边形的对边相互平行
平行四边形的对边相互平行
）
又∵BF=DE（
已知
已知
）
∴AB-BF=DC-DE（
等量代换
等量代换
）
即AF=CE（
等量代换
等量代换
）
∴AF 
∥
.
CE
∴四边形AFCE是平行四边形（
对边平行且相等的四边形是平行四边形
对边平行且相等的四边形是平行四边形
）
∴∠EAF=∠ECF（
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角相等
）
让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．
第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示-2、4，则线段AB的中点M表示的数是
1
1
． 再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．
第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A（x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（
x1+x2
2
x1+x2
2
，
y1+y2
2
y1+y2
2
 ）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．
第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（
x1+x3
2
x1+x3
2
，
y1+y3
2
y1+y3
2
），也可以表示为Q（
x2+x4
2
x2+x4
2
，
y2+y4
2
y2+y4
2
 ），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是
x1+x3=x2+x4
x1+x3=x2+x4
和
y1+y3=y2+y4
y1+y3=y2+y4
． 我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的
和相等
和相等
．

让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系。

第一步：数轴上两点连线的中点表示的数

自己画一个数轴，如果点A、B分别表示-2、4，则线段AB的中点M表示的数是                。 再试几个，我们发现：

数轴上连结两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数。

第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）

为便于探索，我们在第一象限内取两点A（x1,y1），B（x2,y2）,取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（             ，                     ）（用x1,y1，x2,y2表示），AEFB是矩形时也可以。我们的结论是：平面直角坐标系中连结两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数。

      

          图①                    图②

第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）

在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）,

D（x4,y4）,则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（           ，         ），也可以表示为Q（             ，          ），经过比较，我们可以分别得出关于x1,x2,x3,x4及,y1,y2,y3,y4的两个等式是            和                          。 我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的              。

 

 

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