题目内容
24、在讨论问题：“如图1，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，请问：BD、AB、BC三边满足什么关系”时，某同学在图中作△ACE≌△DCB，连接BE得图2，然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2．他的判断是否正确？请说明理由．
分析：根据全等关系把BD、AB、BC的关系，转化成AE、AB和BE的关系，再根据角的度数，得到△ABE为直角三角形，利用勾股定理即可得出三边关系．
解答：解：其判断正确；
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形；
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACE≌△DCB；
此时，AE=BD，BC=CE，∠ACE=∠DCB，
∴∠BCE=∠ACD=60°；
∴△BCE为等边三角形；
∴BE=BC，∠BCE=60°；
又∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2
∴BD2=AB2+BC2．
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形；
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACE≌△DCB；
此时，AE=BD，BC=CE，∠ACE=∠DCB，
∴∠BCE=∠ACD=60°；
∴△BCE为等边三角形；
∴BE=BC，∠BCE=60°；
又∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2
∴BD2=AB2+BC2．
点评：将三边通过等量代换转换到直角三角形，利用勾股定理得到其数量关系，然后作出正确判断是本题考查的重点．
练习册系列答案
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用若干个小立方块搭成一个几何体，使它从正面看与从左面看都是如图的同一个图．通过实际操作，并与同学们讨论，解决下列问题：
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，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。
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中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
=
，就可转化证
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