Question

阅读下列材料，并解决后面给出的问题
例．给定二次函数y=（x-1）²+1，当t≤x≤t+1时，求y的函数值的最小值．
解：函数y=（x-1）²+1，其对称轴方程为x=1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上．下面分类讨论：

（1）如图1所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即有1＜t．此时y随x的增大而增大，当x=t时，函数取得最小值，y最小值=(t-1)2+1；
（2）如图2所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y_最小值=1；
（3）如图3所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，解不等式即得t＜0．此时Y随X的增大而减小，当x=t+1时，函数取得最小值，y最小值=t2+1
综上讨论，当1＜t时，函数取得最小值，y最小值=(t-1)2+1．
此时当0≤t≤1时，函数取得最小值，y_最小值=1．
当t＜0时，函数取得最小值，y最小值=t2+1
根据上述材料，完成下列问题：
问题：求函数y=x²+2x+3在t≤x≤t+2时的最小值．

Answer 1

分析：结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+2右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+2内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+2左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．

解答：解：y=x²+2x+3=（x+1）²+2，分类讨论：
（1）如图1，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+2右侧时，有t≤-3，此时y随x的增大而减小，

∴当x=t+2时，函数取得最小值，y_最小值=（t+2）²+2（t+2）+3=t²+6t+11；

（2）如图2，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+2内时，即有t≤-1≤t+2，
解这个不等式，即-3≤t≤-1．此时当x=-1时，函数取得最小值，y_最小值=2；

（3）如图3，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+2左侧时，即t≥-1时，y随x的增大而增大，
∵t≤x≤t+2，当x=t时，函数取得最小值，y_最小值=t²+2t+3，
综上讨论，当t≤-3时，函数取得最小值，y最小值=t2+6t+11，
此时当-3≤t≤-1时，函数取得最小值为：y_最小值=2，
当t≥-1时，函数取得最小值为：y最小值=t2+2t+3．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．