Question

如图，ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB。

（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）解x²-7x+12=0得x₁=4，x₂=3
∵OA＞OB
∴OA =4，OB=3
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=
∴sin∠ABC=。
（2）∵点E在x轴上，S_△AOE=
有
得
∴E（，0）或E（-，0）
由已知可知D（6，4）
设
当时有
解得
∴
同理时，y_DE=
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6
∵
∴△AOE∽△DAO 。
（3）满足条件的点有四个
F₁（3，8）；F₂（-3，0）；F₃（-，）；F₄ （-，）。