Question

【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足为F,连接DF；

求证:(1)AC=EF；

(2)四边形ADFE是平行四边形；

(3)AC⊥DF；

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；

（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；

（3）先求∠EAC=90°，由ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，则AC⊥DF．

证明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF，AB=AE，

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

∵ ，

∴△AFE≌△BCA(HL)，

∴AC=EF；

(2)∵△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形；

(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°

∵四边形ADFE是平行四边形，

∴AE∥FD，

∴∠EAC=∠AGD=90°，

∴AC⊥DF.