Question

已知关于x的方程mx²+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m＞0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，其中x₁＞x₂，若y=

x2-1

3x1

，求y与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤-m成立的m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，即可得出结论．
（2）本题需先求出x的值，再代入y与x的关系式即可得出结果．
（3）本题需先分别画出反比例函数和正比例函数的图象，再根据图象即可求出使不等式y≤-m成立的m的取值范围．

解答：（1）证明：由题意可知，∵△=（3-2m）²-4m（m-3）=9＞0，
即△＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：由求根公式，得x=

-(3-2m)±3

2m

．
∴x=1-

3

m

或x=1．
∵m＞0，
∴1＞1-

3

m

．
∵x₁＞x₂，
∴x1=1，x2=1-

3

m

．
∴y=

x2-1

3x1

=-

1

m

．
即y=-

1

m

  (m＞0)为所求．

（3）解：在同一平面直角坐标系中
分别画出y=-

1

m

  (m＞0)
与y=-m（m＞0）的图象．
由图象可得，由图象可得
当0＜m≤1时，y≤-m．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，在解题时要注意综合应用根的判别式与反比例函数的关系式本题的关键．