Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；
②AN=BM．
③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数y=

k

x

的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数y=

k

x

的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：在图1中，设A（a，b）B（m，n），代入反比例函数求出ab=k，mn=k，求出S_{四边形AEOC}=S_{四边形BDOF}=k，即可判断①；连接AD，BC，过D作DZ⊥AB于Z，过C作CH⊥AB于H，根据三角形面积公式求出S_△ADC=S_△BDC，推出DZ=CH，得出四边形DCHZ是矩形，推出DC∥AB，求出四边形ANDC和四边形BMCD都是平行四边形，推出AN=BM=DC，即可判断②③；在图2中，解的过程与在图1中类似．

解答：解：设A（a，b），B（m，n），
∵A、B都在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴代入得：ab=k，mn=k，
∴S_{四边形AEOC}=OC×AC=ab=k，
S_{四边形BDOF}=OF×BF=mn=k，
∴S_{四边形AEOC}=S_{四边形BDOF}，
∴S_{四边形AEOC}-S_{四边形DKCO}=S_{四边形BDOF}-S_{四边形DKCO}，
∴S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}，∴①正确；
图1中，连接AD，BC，过D作DZ⊥AB于Z，过C作CH⊥AB于H，
∵S_△ADC=

1

2

AC×DK=

1

2

ab=

1

2

k，S_△BCD=

1

2

BD×CK=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出DZ=CH，
∵DZ∥CH，∠ZDC=90°，
∴四边形DCHZ是矩形，
∴DC∥AB，
∵AC∥ON，DB∥OM，
∴四边形ANDC和四边形BMCD都是平行四边形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，∴在图1中②正确；③正确；
在图2中，连接AD，BC，
∵S_{四边形AEDK}=S_{四边形AEOC}+S_{四边形OCKD}，S_{四边形BFCK}=S_{四边形BFOD}+S_{四边形OCKD}，
又∵S_{四边形AEOC}=S_{四边形BFOD}=k，
∴S_{四边形AEDK}=S_{四边形BFCK}，
∴AK×DK=BK×CK，
∴

AK

CK

=

BK

DK

，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴DC∥AB，
∵AC∥DE，
即AN∥CD，AC∥DN，
∴四边形DNAC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM，∴在图2中，②正确；③正确；
故选D．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，三角形的面积，反比例函数的图象上点的坐标特征等知识点的综合运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．