题目内容
【题目】已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．
请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
，（其中b＞a），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).
【答案】AM的长是
(a+b)或 (b-a)．
【解析】
试题（1）延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接四边形的性质推出∠ABE=∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，证等边三角AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；
（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推出AB=AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．
（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中，
∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．
（2）解：分为两种情况：①如图，
延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=
(a+b)
即AM=(a+b)
②如图，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=
(b-a)
即AM= (b-a)．
即AM的长是 (a+b)或 (b-a)．
