题目内容
（2008•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=| 4 | 5 |
（1）若△APQ的面积是y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当△APQ为等腰三角形时，求x的值；
（3）如果点R是AC边上的动点，且CR=AP=BQ=x，那么是否存在这样的x，使得∠PQR=90°？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点Q作QM⊥AC于M，利用条件sinA=
，可得到QM和AQ的关系，根据三角形的面积公式可得y=
AP•QM=
x•
（10-x）=-
x2+3x，再根据已知条件求出自变量的取值范围即可；
（2）本小题要分三种情况：①当AP=AQ时，②当AP=PQ时，③当AQ=PQ时分别讨论求出x的值即可；
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，过点P作PM⊥AB于M，过点R作RN⊥AB于N，当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，再根据已知条件证明△PQM∽△QRN，由相似三角形的性质可得到
=
，因为RN=
AR=
（AC-CR）=
（6-x），PM=
AP=
x，QN=10-AQ-BN=
x-
，QM=AQ-AM=10-
x，所以可得到方程得6x2-49x+90=0，进而求出x的值．反之，当AP=BQ=CR=
时，过点P作PM⊥AB于M过点Q作RN⊥AB于N，由以上思路也可求出x的另外一个值．
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
（2）本小题要分三种情况：①当AP=AQ时，②当AP=PQ时，③当AQ=PQ时分别讨论求出x的值即可；
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，过点P作PM⊥AB于M，过点R作RN⊥AB于N，当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，再根据已知条件证明△PQM∽△QRN，由相似三角形的性质可得到
| RN |
| QN |
| QM |
| PM |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
49+
| ||
| 12 |
解答：
解：（1）过点Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=
=
，
∴QM=
AQ=
（10-x），
∴y=
AP•QM=
x•
（10-x）=-
x2+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=
，
∴BC=AB•sinA=10×
=6，
∴AC=
=
=8，
∴自变量x的取值范围为：0＜x≤8；
（2）分三种情况：①当AP=AQ时，有x=10-x，
∴x=5；
②当AP=PQ时，过点P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=
，
∴cosA=
，
∵AN=
AQ=
，
∴
=
x，
解得：x=
；
③当AQ=PQ时，过点Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即
=
(10-x)，
解得x=
；
综合①、②、③，x=5或
或
．
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，过点Q作RN⊥AB于N，
当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴
=
，
∵RN=
AR=
（AC-CR）=
（8-x），PM=
AP=
x，QN=10-AQ-BN=
x-
，QM=AQ-AM=10-
x，
∴
=
，
化简，得6x2-49x+90=0解得x=
；
反之，当AP=BQ=CR=
时，过点P作PM⊥AB于M过点Q作RN⊥AB于N
∵RN=
(8-x)=
，QM=10-
x=
，QN=
x-
=
，PM=
x=
．
∴
=
，
=
∴
=
，
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，当AP=BQ=CR=
时，可证∠PQR=90°．
综合以上，当x=
时，∠PQR=90°．
解：（1）过点Q作QM⊥AC于M，在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=
| QM |
| AQ |
| 3 |
| 5 |
∴QM=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=
| BC |
| AC |
∴BC=AB•sinA=10×
| 3 |
| 5 |
∴AC=
| AB2-BC2 |
| 102-62 |
∴自变量x的取值范围为：0＜x≤8；
（2）分三种情况：①当AP=AQ时，有x=10-x，∴x=5；
②当AP=PQ时，过点P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=
| 3 |
| 5 |
∴cosA=
| 4 |
| 5 |
∵AN=
| 1 |
| 2 |
| 10-x |
| 2 |
∴
| 10-x |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 50 |
| 13 |
③当AQ=PQ时，过点Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即
| x |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得x=
| 80 |
| 13 |
综合①、②、③，x=5或
| 50 |
| 13 |
| 80 |
| 13 |
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，过点Q作RN⊥AB于N，
当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴
| RN |
| QN |
| QM |
| PM |
∵RN=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴
| ||||
|
10-
| ||
|
化简，得6x2-49x+90=0解得x=
49±
| ||
| 12 |
反之，当AP=BQ=CR=
49+
| ||
| 12 |
∵RN=
| 4 |
| 5 |
23-
| ||
| 15 |
| 9 |
| 5 |
53-3
| ||
| 20 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
44+2
| ||
| 15 |
| 3 |
| 5 |
49+
| ||
| 20 |
∴
| RN |
| QM |
31+
| ||
| 30 |
| QN |
| PM |
31+
| ||
| 30 |
| RN |
| QM |
| QN |
| PM |
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，当AP=BQ=CR=
49-
| ||
| 12 |
综合以上，当x=
49±
| ||
| 12 |
点评：本题考查了锐角三角函数、三角形的面积公式、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的计算和分类讨论的数学数学，题目的综合性很强，难度很大，对学生的综合解题能力要求相当高．
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