题目内容

已知：抛物线y=ax²+bx+4的对称轴为x=-1，且与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（-3，0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4．

（2）∵D是抛物线y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ +4的顶点
∴点D的坐标为（-1， $\text{[math]}$ ）
设AC与抛物线对称轴的交点为E
∴DE= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1=4．

（3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为H
若PC∥AB，则点P（-1，4）；
若PB∥AC，△PHB∽△COA，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得PH= $\text{[math]}$ ．
∴P（-1，- $\text{[math]}$ ）；
若PA∥BC，则△PHA∽△COB，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
解得PH=8
∴P（-1，-8）．
因此符合条件的P点有三个：（-1，4）；（-1，- $\text{[math]}$ ）；（-1，-8）．
分析：（1）将A点坐标代入抛物线中，联立对称轴的解析式即可求出待定系数的值．
（2）由于△ADC的面积无法直接求出，因此可将其面积转换为其他面积的和差来求．设直线AC与抛物线对称轴的交点为E，首先要求出A、C、D、E四点的坐标，然后将△ACD分成△AED和△CDE两部分来求解．
（3）本题分三种情况：
①PC∥AB，那么C点的纵坐标即为P点的纵坐标，因此可直接写出P点坐标
②PB∥AC，那么此时应有△PHB∽△COA（设抛物线对称轴与x轴的交点为H），可通过得出的关于PH、CO，BH、AO的比例关系式来求出PH的长，即可得出P点坐标．
③PA∥BC，同②．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、梯形的判定等知识．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．