题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），点C（0，
3
）抛物线y=ax2+
2
3
3
x+c（a≠0）经过A、C两点．与x轴交于点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MOB的周长最小？若存在，求出的周长最小精英家教网值．【提示：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-
b
2a
，顶点坐标是（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）】
分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，设P（a，b），作PE⊥AB，利用△APE∽△PBE，利用比例线段建立等量关系求出点P的坐标．
（3）由于B，O是定点，BO的长一定，实际上就是求BM+OM最小，找出点B关于直线AC的对称点F，连接OF，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到F，使BC=FC，作FG⊥AB，交AB于点G，利用中位线的性质可得FG的长，在Rt△GFO中利用勾股定理就可以求出OF的长，从求出△OMB的周长．
解答：解：（1）由题意，得
0=a-
2
3
3
+c
3
=c
解得
a=-
3
3
c=
3

抛物线的解析式为：y=-
3
3 
x2+
2
3
3
x+
3
；

（2）∵抛物线与x轴交于点B
∴当y=0时，则
0=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
解得；
x1=-1，x2=3，
∴B（3，0），
设P（a，b），则有b=-
3
3
a2+
2
3
3
a+
3
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则有P（a，-
3
3
a2+
2
3
3
a+
3
），
∴AE=a+1，BE=3-a，PE=-
3
3
a2+
2
3
3
a+
3
．
如图：作PE⊥AB于E，
∴∠AEP=∠BEP=90°
∵∠APB=90°
∴△APE∽△PBE
∴
AE
PE
=
PE
BE

∴
a+1
  -
3
3
a2+
2
3
3
a+
3
=
-
3
3
a2+
2
3
3
a+
3
3-a

解得：a1=0，a2=3，（在x轴上，舍去）a2=2，a4=-1（在x轴上，舍去）
∴P（0，
3
）或P（2，
3
）．

（3）由（2）知AC⊥BC，延长BC至点F，使CF=BC，连接OF交AC于点M，连接BM，作FG⊥AB于G，精英家教网
∴FG∥OC，△MOB的周长最小．
C△MOB=BO+MO+MB=BO+OF
∵CF=BC
∴GO=BO
∴CO是△BFG的中位线
∴GF=2OC
∵B（3，0），C（0，
3
）
∴0B=3，OC=
3

∴OG=3，GF=2
3
，在Rt△GFO中，由勾股定理，得
OF=
(2
3
)2+32

∴OF=
21

∴C△MOB=
21
+3
∴C△MOB的最小值是：
21
+3．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，直角三角形的判定及性质，轴对称的运用，勾股定理的运用等知识点．
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BD
AB
=
5
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5
29
5
29
．
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5
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k
x
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k
x
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