Question

【题目】（1）如图1，点为线段外一动点，且，，填空：当点位于__________时，线段的长取到最大值__________，且最大值为；（用含、的式子表示）．

（2）如图2，若点为线段外一动点，且，，分别以，为边，作等边和等边，连接，．

①图中与线段相等的线段是线段__________，并说明理由；

②直接写出线段长的最大值为__________．

（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，请直接写出线段长的最大值为__________，及此时点的坐标为__________．（提示：等腰直角三角形的三边长、、满足）

Answer 1

【答案】CB的延长线上； a+b； CD=BE，证明见解析； 9； ； 或.

【解析】

(1) 根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论; .

(2) ①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据(1) 中的结论即可得到结果;

(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=4, BN=AM.根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为如图2.过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解: (1) ∵点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b,

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b.

故答案为: CB的延长线上，a+b;

(2) ①CD=BE,

理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.

∴∠CAD=∠EAB,

在△CAD与△EAB中，

∴△CAD≌△EAB (SAS) ，

∴CD=BE.

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上,

∴最大值为BD+BC=AB+BC=9;

故答案为：CD=BE，9.

（3）如图1：

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形。

∴PN=PA=2，BN=AM, .

∵A的坐标为(4. 0)，点B的坐标为(10, 0) ,

∴OA=4，OB=10,

∴AB=6.

∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

∵

∴最大值为:

如图2.

过P作PE⊥x轴于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴ ,

∴

∴ .

如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，时，也满足条件.

综上所述，满足条件的点P坐标 或 ，AM的最大值为.

故答案为：， 或