Question

如图，分别延长正方形ABCD的边CB和BA，至点E和点F，使BE=AF，连接EA，并延长交DF于点H．
（1）求证：△ADH∽△AEB；
（2）设正方形ABCD的边长为a，BE=b，求

AH

AE

．

Answer 1

分析：（1）首先利用已知条件证明△FAD≌△EBA，然后利用全等三角形的性质证明△ADH∽△AEB；
（2）利用（1）可以证明△ADF∽△HAF，然后利用三角形的面积公式和勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，
而BE=AF，
∴△FAD≌△EBA，
∴∠BAE=∠FDA，
又∠BAE=∠HAF，
∴∠HAF=∠FDA，
而∠DAH+∠HAF=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠AHD=90°，
∴△ADH∽△AEB；

（2）解：∵△FAD≌△EBA，
∴AE=DF，
而正方形ABCD的边长为a，BE=b，
∴AF=b，AD=a，
∴DF=

AF2+AD2

=

a2+b2

，
而S_△AFD=

1

2

AF•AD=

1

2

AH•DF，
∴AH=

AF•AD

DF

=

ab

a2+b2

，
∴

AH

AE

=

ab

a2+b2

．

点评：此题主要考查了全等三角形、相似三角形的性质与判定及正方形的性质，同时也利用了勾股定理和三角形的面积公式，综合性比较强．