Question

如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．

Answer 1

证明：作AM⊥BD，交BD延长线于M，
∵在Rt△ABM中，∠ABD=30°，
∴AB=2AM，
∵BD为AC边上的中线，
∴AD=CD，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=∠M=90°，
∵在△BCD和△MAD中，
，
∴△BCD≌△MAD（AAS），
∴AM=BC，
则AB=2BC．
分析：作AM⊥BD，交BD延长线于M，在直角三角形ABM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到B=2AM，．再利用AAS得出三角形BCD与三角形ADM全等，由全等三角形的对应边相等得到AM=BC，等量代换即可得证．
点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．