Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在边BC上运动，过点P作PE⊥AB于点E，点D为边AC上一动点，连接PD、DE，以PD、DE为边作平行四边形PDEF，设BP=m
（1）用m的代数式表示PE的长；
（2）当m=5时，问：是否存在点D，使顶点F落在边BC上？若存在，试求CD长；若不存在，请说明理由；
（3）若四边形PDEF为菱形，且F落在边BC上，试求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出AB，证△BEP∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
（2）求出PE，根据勾股定理求出BE，求出AE，求出DE，即可得出答案．
（2）用m把BE、AE、AD表示出来，根据勾股定理求出DE和DP，根据DP=DE即可得出关于m的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵在Rt△BCA中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEP∽△BCA，
∴

PB

AB

=

PE

AC

，
∴

m

10

=

PE

6

，
∴PE=

3

5

m．

（2）存在点D，使顶点F落在边BC上，
理由是：如果顶点F落在BC上，
则ED∥BC，
当BP=m=5时，PE=

3

5

m=3
∴BE=

52-32

=4，AE=AB-BE=10-4=6，
∵四边形PDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴Rt△AED∽Rt△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

，
∴DE=

AE×BC

AB

=

6×8

10

=

24

5

＜5，
∴存在，顶点F落在BC上
∵Rt△AED∽Rt△ABC，
∴

AD

AC

=

AE

AB

，
∴AD=

AE×AC

AB

=

6×6

10

=3.6，
∴CD=AC-AD=6-3.6=2.4．

（3）四边形PDEF为菱形，且F落在BC上
则ED∥BC，且PD=ED
∵PE=

3

5

m，
∴BE=

4

5

m，AE=10-

4

5

m，
ED=

BC×AE

AB

=

8×(10- 4 5 m)

10

=8-

16

25

m，
AD=

AC×AE

AB

=

6×(10- 4 5 m)

10

=6-

12

25

m，
CD=6-（6-

12

25

m）=

12

25

m，
PC=8-m，
∵菱形PDEF，
∴PD=DE，
∴PD²=DE²，
∴（

12

25

m）²+（8-m）²=（8-

16

25

m）²，
解得：m=

400

57

，m=0（舍去），
即m=

400

57

．

点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的性质的应用，本题综合性比较强，难度偏大．