Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）

（1）当t＝3时，线段PQ的长为　 　cm；

（2）是否存在某一时刻t，使点B在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形CPMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）存在，理由见解析, t＝（12﹣6）s；（3）S＝t2（0＜t≤3）或S＝﹣t2+12t﹣18（3＜t≤6）

【解析】

（1）由题意得：当t＝3时，PC＝3＝AC，AQ＝3＝AB，即P、Q分别为AC、AB的中点，得出PQ为△ABC的中位线，得出PQ＝BC＝3即可；

（2）由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）分两种情况，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案．

（1）∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，

∴AB＝＝6，

当t＝3时，PC＝3＝AC，AQ＝3＝AB，

即P、Q分别为AC、AB的中点，

∴PQ为△ABC的中位线，

∴PQ＝BC＝3（cm）；

故答案为：3；

（2）存在．理由如下：

连接BP．如图1，

在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝6，

若点B在线段PQ的垂直平分线上，

则BP＝BQ，

∵AQ＝t，CP＝t，

∴BQ＝6﹣t，

∵PB2＝62+t2，

∴（6﹣t）2＝62+t2，

整理得：t2﹣24t+36＝0，

解得：t＝12﹣6或t＝12+6（舍去），

∴t＝（12﹣6）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．

（3）分两种情况：

①当0＜t≤3时，如图2：

S＝正方形CPMN的面积＝t2；

②当3＜t≤6时，如图3：

∵PC＝t，AC＝6，

∴AP＝6﹣t

∵∠C＝∠APM＝∠M＝90°，∠A＝∠EFM＝45°，

∴△APE∽△FME∽△ACB，并且都是等腰直角三角形

∴PE＝AP＝6﹣t，

∴EM＝FM＝t﹣（6﹣t）＝2t﹣6，

∴S＝S正方形CPMN﹣SRt△EFM ＝t2﹣（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18；

综上所述，S关于t的函数关系式为：S＝t2（0＜t≤3）或S＝﹣t2+12t﹣18（3＜t≤6）．