Question

【题目】已知抛物线与轴的两个交点是点，（在的左侧），与轴的交点是点．

（1）求证：，两点中必有一个点坐标是；

（2）若抛物线的对称轴是，求其解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）将抛物线表达式变形为，求出与x轴交点坐标即可证明；

（2）根据抛物线对称轴的公式，将代入即可求得a值，从而得到解析式；

（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO=45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．

解：（1）=，

令y=0，则，，

则抛物线与x轴的交点中有一个为（-2，0）；

（2）抛物线的对称轴是：=，

解得：，代入解析式，

抛物线的解析式为：；

（3）存在这样的点，

，

，

如图1，当点在直线上方时，记直线与轴的交点为，

，

，，

则，

，

则，，

求得直线解析式为，

联立，

解得或，

，；

如图2，当点在直线下方时，记直线与轴的交点为，

，，

，

则，

，，

求得直线解析式为，

联立，

解得：或，

，，

综上，点的坐标为，或，．