Question

已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明为整数．

Answer 1

【答案】分析：先根据是无理数判断出，再把分母有理化，根据a，b，c为正整数可知b²-ac=0，再把a²+b²+c²化为几个因式积的形式，消去所求代数式的分母，从而所求问题得以证明．
解答：证明：因为是无理数，则，
而=为有理数，
所以b²-ac=0，
于是a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=（a+b+c）²-2（ab+bc+b²）=（a+b+c）²-2b（a+c+b）=（a+b+c）（a-b+c），
因此，为整数．
点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是把分母有理化，此题有一定的难度．