Question

27、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；再根据∠EAF=45°，易证得△AGF≌△AEF，则有
FG=EF，即可得到BE、CF、EF之间的数量关系．

解答：解：BE、CF、EF之间的数量关系为：EF²=BE²+FC²．
理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，
连FG，如图，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
而AG=AE，AF公共，
∴△AGF≌△AEF，
∴FG=EF，
∴EF²=BE²+FC²．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质．