Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若m为整数，且抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；
（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．

Answer 1

（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；
②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；
综合①、②，可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．

（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx²-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x₁=2，x2=

m-1

m

，
∴抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．
∵|x₁-x₂|=2，
∴|2-x₂|=2，
∴x₂=0或x₂=4，∴m=1或m=-

1

3

（不合题意舍去），
当m=1时，y=x²-2x，
把（2，0）代入，左边=右边，
m=1符合题意，
∴抛物线解析式为y=x²-2x
答：抛物线解析式为y=x²-2x；

（3）①由

y =x2-2x y=x+b

，
得x²-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直线y=x+b与抛物线y=x²-2x没有交点，
∴△=9+4b＜0，
∴b＜-

9

4

∴当b＜-

9

4

，直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点．

∴b的取值范围是b＜-

9

4

．
②

y=x+b y=- 1 3 x2+2x- 8 2

，
-

1

3

x²+2x-

8

3

=x+b
x²-3x+（8+3b）=0，
∵直线y=x+b与抛物线y=-

1

3

x²+2x-

8

3

没有交点，
∴△=（-3）²-4×1×（8+3b）＜0，
b＞-

23

12

，
即b的取值范围是：b＜-

9

4

或b＞-

23

12

．