Question

已知?ABCD，AB⊥AC，E在AD边上，连接BE、AC交于点F，∠ABE=∠CAD，tan∠EBC=

1

2

，CF=

5

+1，AF长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：过点F、B、C作⊙O，CG为⊙的直径，连接OB，GF交于H，如图，由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠6=∠5，由于∠1=∠6，所以∠1=∠5，再根据圆周角定理得到∠2=∠G，根据等腰三角形的性质得∠3=∠4，则∠1+∠2+∠3=∠5+∠4+∠G，再利用圆周角定理由CG为直径得到∠5+∠4+∠G=90°，所以∠1+∠2+∠3=90°，易证得四边形ABHF为矩形，于是有∠BHF=90°，AF=BH，根据垂径定理由OH⊥GF得到GH=FH，所以OH为△GFC的中位线，得到OH=

1

2

FC=

1

2

（

5

+1），
在Rt△CFG中，利用正切的定义可计算出FG=2（

5

+1），再利用勾股定理计算出CG=5+

5

，则OB=

1

2

CG=

1

2

（5+

5

），然后可计算出BH=OB-OH=2，于是得到AF=2．

解答：解：过点F、B、C作⊙O，CG为⊙的直径，连接OB，GF交于H，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠6=∠5，
而∠1=∠6，
∴∠1=∠5，
∵∠2=∠G，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3=∠5+∠4+∠G，
∵CG为直径，
∴∠GFC=90°，
∴∠5+∠4+∠G=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
而AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABHF为矩形，
∴∠BHF=90°，AF=BH，
∴OH⊥GF，
∴GH=FH，
∴OH为△GFC的中位线，
∴OH=

1

2

FC=

1

2

（

5

+1），
在Rt△CFG中，tan∠G=tan∠2=

1

2

=

FC

FG

，
∴FG=2（

5

+1），
∴CG=

FG2+CF2

=5+

5

，
∴OB=

1

2

CG=

1

2

（5+

5

），
∴BH=OB-OH=

1

2

（5+

5

）-

1

2

（

5

+1）=2，
∴AF=2．
故答案为2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、平行四边形的性质和矩形的判定与性质；会运用勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算．