Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，连接AC，BF，且BF∥CD．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半径为，AF＝2，求CD的长度．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【解析】

（1）连接OC，交BF于点H，由ED切⊙O于点C，可得OC⊥DE，因为AB为⊙O的直径，可得BF⊥AD，由BF∥CD，可得ED⊥AD，进而得出OC∥AD，即可推出AC平分∠BAD；

（2）在Rt△ABF中，⊙O的半径为，AF＝2，可求得BF的长，再证明四边形HFDC为矩形，可得CD＝HF＝BF，即可得出CD的长．

(1)如图，连接OC，交BF于点H，

∵ED切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∵AB为⊙O的直径，

∴BF⊥AD，

∵BF∥CD，

∴ED⊥AD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴AC平分∠BAD；

(2)∵⊙O的半径为，AF＝2，∠AFB＝90°，

∴

由(1)知，∠D＝∠HFD＝∠OCD＝90°，

∴四边形HFDC为矩形，

∴OC⊥BF，

∴CD＝HF＝BF＝4．