Question

已知如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．过点F作FM垂直于DC，交直线DC于M．
（1）如果DG=2，那么FM=

2

 （画出对应图形会变得更简单！）
（2）当E，G在正方形边上移动时，猜测FM的值是否发生改变，并证明你的结论．
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积S；判断S能否等于1，若能求x的值，若不能请说明理由．
（温馨提示：不要忘记顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上哦！）

Answer 1

分析：（1）根据DG=2可以利用HL定理证明Rt△AEH与Rt△DHG全等，从而求出AE的长度是4，等于CG的长度，∠AEH=∠DHG，然后证明菱形EFGH是正方形，结合图形可知FM=DG=2；
（2）过点F作FN∥DM，根据平行公理可得FN∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据菱形的邻角互补以及平角等于180°可以求出∠1=∠5，然后证明△AEH与△MGF全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=AH，从而得到FM的值不会发生改变；
（3）根据三角形的面积公式求出CG的长，然后根据勾股定理求出GH的平方，再根据勾股定理求出AE的长，然后根据AE的长与6的关系即可判断是否存在．

解答：解：（1）如图所示，∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△AEH与Rt△DHG中，

HG=HE AH=DG

，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴AE=DH，∠AEH=∠DHG，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠GHE=180°-90°=90°，
∴菱形EFGH是正方形，
由图形可知△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴FM=DG=2，
故答案为：2；

（2）FM的值不会发生改变．理由如下：
如图，过点F作FN∥DM，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠2+∠3+∠HEF=180°，
又∠4+∠5+∠HEF=180°，
∴∠1=∠5，
在△AEH与△MGF中，

∠A=∠M=90° ∠1=∠5 HE=FG

，
∴△AEH≌△MGF（AAS），
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是常数不变；

（3）结合图形可得，S=

1

2

CG•FM=

1

2

×（6-x）×2=6-x，
假设S能等于1，则x=5，
∴DG=5，
在Rt△HDG中，HG²=DH²+DG²，
即HG²=（6-2）²+（6-1）²=16+25=41，
∴菱形EFGH的边HE²=41，
在Rt△AEH中，AE=

HE2-AH2

=

41-22

=

37

＞6，
∵AB=6，
∴点E在AB的延长线上，不在边AB上，不符合题意，
∴假设不成立，即S不能等于1．

点评：本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形判定与性质，以及勾股定理的应用，综合形较强，作出图形，利用数形结合的思想更形象直观．