Question

（模拟改编）如图，在△ABC中，∠B=36°，D为BC上的一点，AB=AC=BD=1．
（1）求DC的长；
（2）利用此图，求sin18°的精确值．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件可以证明△ADC∽△BAC，再利用其对应边成比例即可求出CD的长．
（2）作AD的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出．

解答：解：（1）∵∠B=36°，AB=AC=BD=1，
∴∠C=36°，∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°，
∴∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴

DC

AC

=

AC

BC

，
即DC×（DC+1）=1，
∴DC₁=

-1+ 5

2

，DC₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴DC=

-1+ 5

2

；

（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，
∵AB=BD=1，
∴∠ABE=18°，AE=DE=

1

2

AD
∵∠DAC=∠C，
∴DC=AD=2DE=

-1+ 5

2

，
∴sin18°=

DE

BD

=

-1+ 5

4

．

点评：此题考查应用解直角三角形、直角三角形性质等知识以及逻辑推理能力和运用能力．