Question

【题目】如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE＝3；y＝x2+x；（2）t＝；（3）存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；

（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．

（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，

∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，

设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，

∵OE＝3，

∴AE＝5﹣3＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，

∴D（﹣，﹣5），

∵C（﹣4，0），O（0，0），

∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），

∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，

∴抛物线解析式为y＝x（x+4）＝x2+x；

（2）∵CP＝2t，

∴BP＝5﹣2t，

∵BD＝，DE＝＝，

∴BD＝DE，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），

∴BP＝EQ，

∴5﹣2t＝t，

∴t＝；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，

∴设N（﹣2，n），

又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），

设M（m，y），

①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，

则线段EN的中点横坐标为，线段CM中点横坐标为，

∵EN，CM互相平分，

∴＝﹣1，解得m＝2，

又M点在抛物线上，

∴y＝×22+×2＝16，

∴M（2，16）；

②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，

则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为，

∵EM，CN互相平分，

∴＝﹣3，解得m＝﹣6，

又∵M点在抛物线上，

∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，

∴M（﹣6，16）；

③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，

则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．