Question

【题目】如图，中，是边上一点，，，，点，分别是，边上的动点，且始终保持．

（1）求的长；

（2）若四边形为平行四边形时，求的周长；

（3）将沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）BP=或３或．

【解析】

（1）先根据题意推出△ABE是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可．

（2）首先要推出△CPQ是等腰直角三角形，再根据已知推出各边的长度，然后相加即可．

（3）首先证明△BPE∽△CQP，然后分三种情况讨论，分别求解，即可解决问题．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，

∵BE=CD=3，

∴AB=BE=3，

又∵∠A=45°，

∴∠BEA=∠A=45°，∠ABE=90°，

根据勾股定理得AE==；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C=45°，

又∵四边形ABPE是平行四边形，

∴BP∥AB，且AE=BP，

∴BP∥CD，

∴ED=CP=，

∵∠EPQ=45°，

∴∠PQC=∠EPQ=45°，

∴∠PQC=∠C=45°，∠QPC=90°，

∴CP=PQ=，QC=2，

∴△CPQ的周长=2+2；

（３）解：如图，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=3，AD=BC=AE+ED=，∠A=∠C=45°，

∴AH=BH=，HE=AD－AH－DE=

∴BH=EH，

∴∠EBH=∠HEB=∠EBC=45°，

∴∠EBP=∠C=45°，

∵∠BPQ=∠EPB+∠EPQ=∠C+∠PQC，∠EPQ=∠C，

∴∠EPB=∠PQC，

∴△BPE∽△CQP．

①当QP=QC时，则BP=PE，

∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90°，

∴四边形BPEF是矩形，

BP=EF=，

②当CP=CQ时，则BP=BE=3，

③当CP=PQ时，则BE=PE=3，∠BEP=90°，

∴△BPE为等腰三角形，

∴BP2=BE2+PE2，

∴BP=，

综上：BP=或3或．