Question

【题目】如图1，抛物线C1：y＝x2+ax+b与直线l交于点A(8，6)，B(﹣4，0)，直线l交y轴于C，点P是直线l下方的抛物线C1上一动点（不与A、B点重点），PE⊥AB于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线C1和直线l的解析式；

（2）若AB＝3PE，求m的值；

（3）抛物线C1向右平移t个单位，得到抛物线C2，点P为抛物线C2上一点，且在x轴下方，PE⊥AB于点E，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，交直线l于点Q．

①如图2，当t＝4时，求△PQE周长的最大值；

②当点P在抛物线C2上运动时，线段PM，QM的值在不断变化，若的最大值为1，则此时t＝　 　（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）， y＝x+2；（2）m＝2；（3）①8+；②

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入y＝x2+ax+b，即可求出抛物线的解析式；将A、B坐标代入y＝mx+n，即可求出直线l的解析式；

（2）如图1，过A作AH⊥x轴，PF⊥x轴，EF∥x轴交PF于F，则△ABH∽△EPF，由AB＝3PE可求出PF＝4，EF＝2，设可P(m，m2﹣m﹣)，则E(m﹣2，m2﹣m+)，将E代入直线l的解析式即可求出m的值；

（3）①当t＝4时，平移后的解析式C2为：y＝x2﹣x，设P(m，m2﹣m)，则Q(m，m+2)，求出PQ的最大值，进一步即可求出△PQE的周长最大值；②先写出平移后的解析式，再用含m、t的代数式表示出PM，MQ的长，由≤1可列出不等式，化简后可由函数的图象及性质求出t的值．

解：（1）将点A（8，6）、B（﹣4，0）代入，

得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣；

设直线l的解析式为y＝mx+n，

将A、B坐标代入，得：，

解得，

∴直线l的解析式为y＝x+2；

（2）如图1，过A作AH⊥x轴，PF⊥x轴，EF∥x轴交PF于F，

∵∠CBO+∠BDE=90°，∠P+∠PDH=90°，

∴∠CBD=∠P，

又∵∠F=∠AHB=90°，

∴△ABH∽△EPF，

∵AB＝3PE，

∴BH＝3PF，AH＝3EF，

∵BH＝12，AH＝6，

∴PF＝4，EF＝2，

设P(m，m2﹣m﹣)，则E(m﹣2，m2﹣m+)，

将E代入直线l化简得：m2﹣4m﹣2＝0，

解得m＝2；

（3）过A作AH⊥x轴于H，

①∵y＝x2﹣x﹣=，

∴当t＝4时，平移后的解析式C2为：y=＝x2﹣x，

设P(m，m2﹣m)，则Q(m，m+2)，

∴PQ＝-m2+2m+2＝﹣(m﹣6)2+8，

∴当m＝6时，PQ取最大值8，

∵∠ABH=∠EPQ，∠AHB=∠PEQ，

∴△PQE∽△ABH，

∴EQ：PE：PQ＝1：2：，

∴△PQE的周长最大值＝PQ+PE+EQ＝8+2×+＝8+；

②∵y＝=，

∴平移后的解析式为：y＝x2﹣+ ，

∴PM＝﹣m2+﹣，MQ＝m+2，≤1，

∴-m2+﹣≤0，

∴当m＝﹣＝t﹣1时，-m2+﹣有最大值0，

将m＝t﹣1代入-m2+﹣＝0，

解得t＝，

故答案为：．