Question

已知：如图，M是线段BC的中点，BC=4，分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD，连接AD

【小题1】求证：四边形ABCD是等腰梯形
【小题2】将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于点E，MC´交AD于点F，连接EF．
①求证：EF∥D´C´；
②△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.

Answer 1

【小题1】见解析
【小题2】存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB2+解析:
(1)等边△BAM、等边△MCD
∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º, ∠DCM=∠DMC=60º
 M是线段BC的中点
∴MB=MC
∴AM="DM," ∠AMD=60º
∴∠DAM=60º
∴AD∥BC
 ∠B= ∠C
∴四边形ABCD是等腰梯形
(2) ①∠EMA=α-60º, ∠FMD=α-60º
∴∠EMA=∠FMD
∠BAM=∠ADM,AM=DM
∴△AEM≌△DMF
∴ME=MF
 MD´= MC´
∴EF∥D´C´
②存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB，周长=1+1+=2+