Question

在正方形ABCD中，E为BC中点，F在AE上，满足∠BFD=135°，若AB=4，则BF=

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：取AB的中点G，连结DG交AE于N，延长NG到M，使MG=NG，连接BM，BN，易证△BGM≌△AGN和△AGD≌△BEA，可得∠DGA=∠AEB，∠ANG=∠BMG，∠NAG=∠MBG，即可求得∠ANG=90°=∠BMG，即可证明Rt△GMB∽Rt△EBA，可得BM：GM=AB：BE=2：1，即可求得∠BND=135°，即N和F是同一点，根据勾股定理即可求得BM的长度，即可解题．

解答：解：取AB的中点G，连结DG交AE于N，延长NG到M，使MG=NG，连接BM，BN，

∵在△BGM和△AGN中，

AG=BG ∠AGN=∠BGM GM=GN

，
∴△BGM≌△AGN，（SAS）
∵在△AGD和△BEA中，

AD=AB ∠DAG=∠ABE AG=BE

，
∴△AGD≌△BEA，（SAS）
∴∠DGA=∠AEB，∠ANG=∠BMG，∠NAG=∠MBG，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠DGA=90°，
∴∠ANG=90°=∠BMG，
∵∠NAG=∠MBG，
∴Rt△GMB∽Rt△EBA，
∴BM：GM=AB：BE=2：1，
∴BM=2GM，
∴BM=NM，
∴∠MNB=∠MBN，
∴∠MNB=45°，
∴∠BND=135°
∴N和F是同一点，
在Rt△BMG中，GM²+BM²=BG²=4，
∴BM²=

16

5

，
在Rt△BFM中，BF²=2×

16

5

=

32

5

，
∴BF=

4 2

5

．
故答案为

4 2

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BGM≌△AGN和△AGD≌△BEA是解题的关键．