Question

在平面直角坐标系中，直线y=-x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标（

m

2

，0 ），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）求证：OF⊥AC；

（2）连接CF交AB于点H，求证：AH=

3

2

CF；

（3）若m=2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB-BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B的坐标，再通过对称得到FB=BC且垂直x轴，从而证直角△OAC≌直角△FOB，得到OF⊥AC．
（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求出BA，BF，BH即可．
（3）过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点，证明直角△MEN≌直角△MDH．

解答：证明：（1）C，F关于AB对称，则FB⊥x轴，FB=BC．
由y=-x+m得A（0，m），B（m，0），而C（

m

2

，0），所以OC=BC=BF，OA=OB，
∴直角△OAC≌直角△FOB
∴∠FOB=∠OAC
∴∠FOB+∠ACO=90°即OF⊥AC．

（2）在直角三角形BCF中，BC=BF=

m

2

，所以CF=

2

2

m，BH=

2

4

m．
在直角三角形OAB中，AB=

2

m，
∴AH=

2

m-

2

4

m=

3  2

4

m
∴AH=

3

2

CF．

（3）EB-BD的值不变，等于

4

3

．
m=2，直线AB解析式：y=-x+2．F（2，1），直线OF的解析式为y=

1

2

x，
解方程组

y=-x+2 y=  1 2 x

得

x=  4 3 y=  2 3

所以M（

4

3

，

2

3

）．
过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点．如图，
∵∠ABO=45°，
∴四边形MNBH是正方形．
∴MN=BH=MH．
又∵EM⊥MD，
∴∠MEN=∠MDH．
∴直角△MEN≌直角△MDH．
∴EN=DH．
∴EB-BD=EN+BN-BD=DH+BH-BD=2BH=

4

3

．

点评：会求直线与坐标轴的交点坐标；学会构建三角形全等，掌握全等三角形的性质；合理使用勾股定理进行计算．