Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC∥x轴，∠OBC=45°．

（1）求点C的坐标；
（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

作CM⊥x轴于点M，如图1，

则∠CMB=∠AOM=90°，

∴CM∥AO，

∵AC∥x轴，

∴四边形AOMC是矩形，

∴CM=AO=3，AC=OM，

∵∠OBC=45°，

∴MB=MC=3，

∴OM=7﹣3=4，

∴C（4，3）；

（2）

解：①当点E在线段OB上时，即当0＜n＜7时，如图2，连接OD，

∵CD=1，

∴AD=3=AO，

∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，

∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，

∴∠OED=∠EFB，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ n2+ n；

②当点E在线段BO的延长线上时，即n＜0时，连接OD，如图3，

由（1）知∠DOB=∠OBC，

∴∠DOE=∠EBF，

∵∠DEF=45°=∠OBC，

∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，

∴∠DEO=∠BFE，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m= n2﹣ n；

综上可知m与n的函数关系式为m= ．

【解析】（1）作CM⊥x轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得OM和CM的长，可求得C点坐标；（2）①当E在线段OB上时，连接OD，利用条件可证得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段BO的延长线上时，同样可证得△DOE∽△EBF，可得到m与n之间的关系．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和矩形的性质的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．