题目内容

如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作精英家教网AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F．
（1）求经过点A，C两点的直线解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由；
（3）如果将直线AC作向下平移，交y轴于点C′，交AB于点A′，连接DC′，过点E作EF′∥DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由．
分析：（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式；
（2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，从而有一个斜率关系，代入可求出D点坐标，从而求出直线DE；
（3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直线DE解析式，再求出边长就解决问题了．
解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴
8=4k+b
5=b
，
解得k=
3
4
，b=5，
∴直线AC的解析式为：y-5=
3
4
x，即y=
3
4
x+5；

（2）如图1，设D（m，0），
∵kAC=
3
4
，DE∥AC，AC⊥CD，精英家教网
∴k=
3
4
，kCD=-
4
3
，
又C（0，5），D（m，0），
∴
5-0
0-m
=-
4
3
，
∴m=
15
4
，
∴点D（
15
4
，0）代入y=
3
4
x+b，
∴b=-
45
16
；

（3）如图2，假设存在这样的正方形则由题意：将直线AC作向下平移，
则可设直线AC的解析式为：y=
3
4
x+5+c，
∵A′C′∥DE，
∴k=
3
4
直线DE的解析式为：y=
3
4
x+b，
令y=0，得x=-
4
3
b，
设D（-
4
3
b，0），C′（0，5+c），
又∵E点横坐标为4，精英家教网
∴E（4，3+b），
则OD=-
4
3
b，BD=4+
4
3
b，BE=3+b，OC′=5+c，
∵由题意使四边形C′DEF′成为正方形，
∴DO=BE，OC′=DB，
则
3+b=-
4
3
b
4+
4
3
b=5+c
，
解得：
b=-
9
7
c=-
19
7

∴边长为
(5+c)2+(
4
3
b)2
=
20
7
，
∴正方形的面积S=
20
7
×
20
7
=
400
49
．
点评：此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系，但实质考查计算能力，解方程组．第三问探讨存在性问题，间接考查了正方形的性质．
练习册系列答案
相关题目
21、如图在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2，0），O（0，0），B（0，4）．
①△AOC与△AOB关于x轴成轴对称，则C点坐标为
（0，-4）
；
②将△AOB绕AB的中点D逆时针旋转90°得△EGF，则点A的对应点E的坐标为
（3，3）
；
③在图中画出△AOC和△EGF，△AOB与△EGF重叠的面积为
1
平方单位．
精英家教网如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连接CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，∠CAP=60°．请你求出平移后MN和PO的长．
如图在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示点B在抛物线y=ax2+ax-2上．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°到达△AB′C′的位置，请写出点B′坐标
（1，-1）
（1，-1）
，点C′坐标
（2，1）
（2，1）
；判断点B′
在
在
，C′
在
在
（填“在”或“不”）在（2）中的抛物线上．
如图在平面直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为
BC
上的一个动点，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点坐标；
（2）当点P在
BC
上运动时，线段AQ的长是否改变？若不变，请求出其长度；若改变，请说明理由．（提示：连接AC）．
（3）当点P在
BC
上运动时，是否存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M？若存在请直接写出点P的坐标．
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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