题目内容

大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂．
（1）请你结合图形来证明：h₁+h₂=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h₁、h₂、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y= $数学公式$ x+3，l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是 $数学公式$ ．求点M的坐标．

（1）证明：连接AM，由题意得h₁=ME，h₂=MF，h=BD，
∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，
S_△ABM= $\text{[math]}$ ×AB×ME= $\text{[math]}$ ×AB×h₁，
S_△AMC= $\text{[math]}$ ×AC×MF= $\text{[math]}$ ×AC×h₂，
又∵S_△ABC= $\text{[math]}$ ×AC×BD= $\text{[math]}$ ×AC×h，AB=AC，
∴ $\text{[math]}$ ×AC×h= $\text{[math]}$ ×AB×h₁+ $\text{[math]}$ ×AC×h₂，

∴h₁+h₂=h．

（2）解：如图所示：
h₁-h₂=h．

（3）解：在y= $\text{[math]}$ x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．

AB= $\text{[math]}$ =5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得： $\text{[math]}$ +M_y=OB，M_y=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x= $\text{[math]}$ ，
所以此时M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：M_y- $\text{[math]}$ =OB，M_y=3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=- $\text{[math]}$ ，
所以此时M（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC即可求出答案；
（2）h₁-h₂=h；
（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分（ⅰ）当点M在BC边上时，（ⅱ）当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．
点评：（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．