Question

17．【提出问题】
在等边△ABC中，点D为直线BC上的一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：∠ABC=∠ACE，AC=CE+CD；
（2）如图2，当点D在边CB的延长线上时，其它条件不变，请补全图形，结论AC=CE+CD是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，直接写出AC，CE，CD之间的数量关系；
【变式拓展】
如图3，△ABC为等腰三角形，AB=BC，当点D在边BC上时，连接AD，以AD为边在AD的右侧作等腰△ADE，使AD=ED，连接CE，若∠BCA=∠DEA，试探究∠ABC与∠ACE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可证明△BAD≌△CAE，再利用线段的和差可证得结论；
（2）可证明△ABD≌△ACE，同样可得到BD=CE，AB=AC=BC，则可得到AC=CD-CE；
（3）变式拓展：可先证明△ABC∽△ADE，可得到$\frac{BA}{DA}$=$\frac{AC}{AE}$，进一步可证明△ABD∽△ACE，可证得结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE，BD=CE，
∴AC=BC=BD+CD，
即AC=CE+CD；
（2）解：图形如图所示，

结论AC=CE+CD不成立，
数量关系为AC=CD-CE，
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE，BD=CE，
∴AC=BC=CD-BD，
即AC=CD-CE；
（3）变式拓展：
解：∠ABC=∠ACE，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ACB=∠AED，
∴∠BAC=∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴$\frac{BA}{DA}$=$\frac{AC}{AE}$，
又∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABC=∠ACE．

点评 本题为三角形综合应用，涉及知识点有等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质等．在（1）（2）问中在证明三角形全等时注意角相等的找法，在（3）中利用相似三角形的对应边成比例为证明三角形相似找到条件是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．