题目内容
【题目】如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=﹣x+4于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【答案】（1）y=-
x2+
x．（2）存在．点M的横坐标为：
或
或
．（3）
．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|
x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），利用平移性质求出S的表达式：S=-
（t-1）2+
；当t=1时，s有最大值为．
试题解析：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
∴
，解得
，
∴抛物线的表达式为：y=-x2+x．
（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，
求得k=
，
∴直线OD解析式为y=x．
设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，-
x2+x），
∴MN=|yM-yN|=|x-（-x2+x）|=|x2-4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．
∴|x2-4x|=3．
若x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，
解得：x=或x=；
若x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，
解得：x=．
∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．
（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=
x．
如解答图所示，
设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．
∴E（
t，0）．
联立y=3x-4t与y=x，解得x=
t，
∴P（
t，
t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．
∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG
=
（1+t）（+t）-
tt
=-
（t-1）2+
当t=1时，S有最大值为．
∴S的最大值为．
