Question

如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F．
（1）求证：∠ADB=3∠B；
（2）设⊙C的半径为x，EF的长为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）点C在线段AB上移动的过程中，⊙C能否与AE相切？如果能够，请求出这时⊙C的半径；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得出，∠ACD=2∠B，再根据AC=AD，得∠ADC=∠ACD=2∠B，从而得出∠ADB=3∠B；
（2）由题意得出∠FED=∠ADB=3∠B，可证明△ACD∽△FAC，则

AF

AC

=

AC

CD

，代入数值即可得出y与x之间的函数关系式，
（3）先判断，⊙C能与AE相切，设切点为G，连接CG，则∠AGC=90°，由勾股定理得AG，过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，由三角函数求出x即可．

解答：解：（1）∵点B、D在⊙C上，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠B．（1分）
∴∠ACD=2∠B．（1分）
∵点C、D在⊙A上，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2∠B．（1分）
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，
∴∠ADB=3∠B．（1分）

（2）∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE．
∴∠FED=∠ADB=3∠B．（1分）
∵∠FAC=∠FED-∠B，
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．（1分）
∴△AFC∽△ACD，
∴

AF

AC

=

AC

CD

．　（1分）
∵BC=CD=x，
∴AE=AC=1-x，AF=

AC 2

CD

=

(1-x) 2

x

，（1分）
∴y=

(1-x)2

x

-(1-x)=

2x2-3x+1

x

．（1分）
定义域为0＜x＜

1

2

．（1分）

（3）如图，⊙C能与AE相切，设切点为G，
连接CG，则∠AGC=90°．
在Rt△ACG中，AG=

AC2-CG2

=

(1-x)2-x2

=

1-2x

．
cos∠GAC=

AG

AC

=

1-2x

1-x

．（1分）
过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，
∵△ACD∽△FAC，AC=AD，
∴AF=CF，
∴AH=

1

2

AC，
cos∠FAH=

AH

AF

=

1-x 2

(1-x)2 x

=

x

2(1-x)

．（1分）
∴

1-2x

1-x

=

x

2(1-x)

，（1分）
x2+8x-4=0，x=-4±2

5

（负值舍去）．（1分）
∴⊙C的半径为2

5

-4．

点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相交两圆的性质，切线的性质以及勾股定理，是中考压轴题，难度较大．