Question

【题目】四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接.

（1）如图，求证：矩形是正方形；

（2）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数.

Answer 1

【答案】∠EFC=125°或145°.

【解析】

（1）首先作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，由∠DCA=∠BCA，得出EQ=EP,再由∠QEF+∠FEC=45°，得出∠PED+∠FEC=45°，进而得出∠QEF=∠PED，即可判定Rt△EQF≌Rt△EPD，得出EF=ED，即可得证；

（2）分类讨论：①当DE与AD的夹角为35°时，∠EFC=125°；②当DE与DC的夹角为35°时，∠EFC=145°，即可得解.

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图所示

∵∠DCA=∠BCA

∴EQ=EP,

∵∠QEF+∠FEP=90°，∠PED+∠FEP=90°，

∴∠QEF=∠PED

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD

∴EF=ED

∴矩形DEFG是正方形；

（2）①当DE与AD的夹角为35°时，

∠DEP=∠QEF=35°，

∴∠EFQ=90°-35°=55°，

∠EFC=180°-55°=125°；

②当DE与DC的夹角为35°时，

∠DEP=∠QEF=55°，

∴∠EFQ=90°-55°=35°，

∠EFC=180°-35°=145°；

综上所述，∠EFC=125°或145°.