Question

如图1，已知Rt△ABC中，，AC＝8cm，BC＝6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）用含有t的代数式表示AE=_____________；

（2）当t为何值时，DQ=AP；

（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形；

（4）直接写出：当DQ的长最小时，t的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）5－t；（2）；（3）；（4）

【解析】

试题分析：（1）先根据勾股定理求得AB的长，再根据点P的运动特征即可求得结果；

（2）由题意当DQ=AP时，□AQPD是矩形，易证△APQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；

（3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP，根据∠BAC的余弦函数的定义求解即可；

（4）根据点P、Q的运动特征结合DQ的长度的特征求解即可.

（1）由题意得AE=5－t；

（2）当DQ=AP时，□AQPD是矩形

易证△APQ∽△ABC，得，解得

∴当时，DQ=AP；

（3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP

则COS∠BAC，即，解得

∴当时，□AQPD是菱形；

（4） 

考点：动点问题的综合题

点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.