Question

如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）用含有t的代数式表示AE=

5-t

．
（2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．
（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；
（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）利用菱形的性质得到．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE=

1

2

AP=5-t；

（2）当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC  
∴

QA

AP

=

AC

AB

即

2t

10-2t

=

8

10

 
解之  t=

20

9

∴当t=

20

9

时，?AQPD是矩形；

（3）当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则 COS∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

   
即 

5-2t

2t

=

4

5

解之  t=

25

13

∴当t=

25

13

时，□AQPD是菱形．

点评：本题考查了相似形的综合知识，正确的利用平行四边形、矩形、菱形的性质得到正方形是解决本题的关键．