Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若DC=2，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，利用等腰梯形的性质，可求得∠DCB=∠B=60°，又由AD=DC，易得∠DAC=∠BCA=30°，利用三角形内角和定理，即可求得∠BAC=90°，即可证得AB⊥AC；
（2）首先过点A作AE⊥BC于E，由（1）可得△ABE是含30°的直角三角形，则可求得AE与BE的值，继而求得EC的值，又由AB=AD=DC，可得BC与AD的值，继而求得梯形ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=60°，∠DAC=∠ACB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠ACB=

60°

2

=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠ACB）=180°-（60°+30°）=90°，
∴AB⊥AC；

（2）解：过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=DC=2，
∴BE=1，
∴AE=

AB2-BE2

=

3

，
∵∠ACB=30°，AB⊥AC，
∴BC=2AB=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及垂直的定义等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．